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焦點(diǎn)資訊:不確定的聰明人:為什么真正聰明的人都是概率高手? 2022-10-05 18:50:20  來源:36氪

“世界的真正要素不是物, 而是顏色、壓力、空間、時間 這些我們稱之為感覺的東西。-馬赫 ”

餐前甜點(diǎn)

先上一盤餐前甜點(diǎn):

10個帥哥打籃球,通過抽簽分成紅隊(duì)和藍(lán)隊(duì),每隊(duì)5人。


(資料圖片僅供參考)

小明和小強(qiáng)是一對好朋友。小明說:希望我倆能抽在一隊(duì)。

小強(qiáng)說:嗯,有50%的概率。

請問:小強(qiáng)說的對嗎?

本題來自《Fat Chance!》,原書作者用計(jì)算集合的方式,告訴讀者小強(qiáng)說的并不正確。

為什么不對呢?每個人抽中紅隊(duì)和藍(lán)隊(duì)的概率不都是50%嗎?

有別于原書,我用一種更簡單直觀的方式計(jì)算如下:

如上圖,抽簽之前有如上十個空位。

假設(shè)小明隨機(jī)抽中了某個位置,例如紅隊(duì),如下圖:

因?yàn)樾∶髡紦?jù)了其中的一個紅隊(duì)的位置,所以現(xiàn)在還剩下4個紅隊(duì)位置與5個藍(lán)隊(duì)位置。

小強(qiáng)如果想要和小明同在紅隊(duì),他的概率是4/(4+5),即4/9。

這個計(jì)算似乎有點(diǎn)兒奇怪,結(jié)果也和直覺不相符。為什么會有一個不對稱的分布呢?

再說了,大家是一起抽簽,并不是小強(qiáng)和小明輪流抽簽呀?

下面,我再用另外一種直觀的計(jì)算方法,從頭推算一遍。

我們承認(rèn)小強(qiáng)和小明是同時抽簽,先給每張簽編號,從1到10,每人抽中10張簽中任何一個的可能性都是1/10,繪制表格如下:

如上圖:

用橫坐標(biāo)的格子表示小強(qiáng)的10個抽簽可能性,縱坐標(biāo)的則是小明的10個可能性。

其中1-5的標(biāo)簽,表示是在紅隊(duì);6-10的標(biāo)簽,表示是在藍(lán)隊(duì)。

如果小明和小強(qiáng)各自的抽簽結(jié)果都有10種可能,那么兩人結(jié)果可能性的組合是(10×10=100)種嗎?

不是。因?yàn)閮蓚€人不可能同時抽中同一個位置,所以要剔除兩人重號的可能性。

如上圖,去除重合后的10種不可能結(jié)果(標(biāo)注為“x”),兩個人抽簽結(jié)果的可能性一共還剩有90種。

接下來計(jì)算其中兩人在同一組的可能性數(shù)量。

如上圖:

兩人都是紅隊(duì)的可能性(標(biāo)注為紅鉤),在左上角,共有20種;

兩人都是藍(lán)隊(duì)的可能性(標(biāo)注為藍(lán)鉤),在右上角,共有20種。

兩個人在同一個隊(duì)的可能性,是(20+20)/90=4/9。

兩人抽中1到10的概率都是1/10,但是兩個人的抽簽并非完全的獨(dú)立事件。某種概率式的“量子糾纏”,令他倆在同一個隊(duì)的概率出現(xiàn)了4/9這樣一個怪異的結(jié)果。

請覺得上述甜點(diǎn)過于簡單的讀者繼續(xù)讀下去。

本文是為真正的聰明人所寫。

事實(shí)上,本文涉及的主題,即使是在頂尖專家之間也會引發(fā)爭議。

在某些問題上,也許你能夠在本文看到最好的論述。這一點(diǎn),連我自己都不太敢相信。

并且,一切計(jì)算都是從頭推導(dǎo),沒有使用任何公式。

以下內(nèi)容,原文為《聰明人的陷阱》。

開始

打開這篇文章的,多半是聰明人。

歡迎你掉入聰明人的陷阱。

開始前,我想問你一個問題:

你相信意識可以移動物體嗎?

觀察者效應(yīng)”這個話題,經(jīng)常以科學(xué)傳說心靈藥方的形式,出現(xiàn)在對量子力學(xué)與人類精神層面(霍桑效應(yīng))的“葉公好龍”行為中。

根據(jù)量子理論,粒子在沒有被觀測時處于多種本征態(tài)的疊加狀態(tài),而當(dāng)我們觀測粒子的狀態(tài)時,它就會塌縮到一個確定的本征態(tài)。

大白話說,就是觀察者可以“超距”地改變被觀察的對象。

觀察者為什么會影響亞原子層面的“現(xiàn)實(shí)”,會涉及到人的意識、量子塌縮、大腦中可能存在量子計(jì)算過程等等概念,這些概念如今已經(jīng)以科學(xué)的名義娛樂化、玄學(xué)化了。

今天我要寫的,是“觀察者效應(yīng)”對經(jīng)典力學(xué)的日常經(jīng)驗(yàn)的作用,這看起來似乎有點(diǎn)兒怪。

在量子力學(xué)里,電子在某一時刻的狀態(tài),是由電子在所有固定點(diǎn)的狀態(tài)按一定概率疊加而成的,或可稱之為電子的量子“疊加態(tài)”。這就是所謂薛定諤的貓。

但是,在經(jīng)典物理里,物體任何時候都會“確定地”處于空間中的某個點(diǎn)。

比如你可以說我的手機(jī)有一半可能在衛(wèi)生間,也有一半可能掉在車上,這是一個概率預(yù)測。

可我們不能說:手機(jī)是由衛(wèi)生間的狀態(tài)和車上的狀態(tài)疊加而成。

那么,“觀察者效應(yīng)”會將你丟失的手機(jī)從衛(wèi)生間“移動”到車上嗎?

我的回答是:能。

本文的話題即使是在專業(yè)領(lǐng)域的聰明人之間,也經(jīng)常引發(fā)爭議。

我們會從兩個簡單的問題開始,一步步深入到令聰明人著迷的神秘地帶。

更有趣的是,在答題之后,我還將以可感知的方式,提及兩個燒腦的概念:

1、信息之做功;

2、“主觀觀察”改變“客觀世界”。

假如你對前面的解題很厭倦,可以直接跳到第八段的“哲學(xué)思考”:

我們與這個世界的關(guān)系,不是去探尋“世界是什么”,而是人類觀察世界的方式。

讓我們立即開始吧!

蒙洛迪諾曾經(jīng)與霍金合著過《時間簡史》,他的《醉漢的腳步》是一本非常棒的講概率和隨機(jī)性的書。

在講到“樣本空間”這個概念時,蒙洛迪諾出了一道題:

題目A:生男生女

一家兩個小孩,已知生男生女概率相同,已知一個是女孩。

請問另外一個也是女孩的概率是多少?

這道題看起來似乎很簡單:

已知一個是女孩,另外一個要么是男孩,要么是女孩,答案應(yīng)該是1/2呀?

解答:根據(jù)樣本空間的概念,也就是我在為什么真正聰明的人都是概率高手?(零公式入門篇)里說的“平行宇宙”,用窮舉法,兩個小孩有如下四種可能--

第一胎 第二胎男 男男 女女 男女 女

所以,已知有一個是女孩,所以排除第一種可能,剩下三種可能性,答案是1/3。示意圖如下:

對于本題的讓人迷惑之處,蒙洛迪諾解釋道:如果我們指定了哪一個是女孩,例如老大是女孩,那么另外一個也是女孩的概率就變成了50%。

如上圖:因?yàn)橐坏┲付死洗笫桥?,上面的四種可能性中,要把“男-男”和“男-女”兩個可能從樣本空間中去掉,這樣只剩下“女-男”和“女-女”,所以“女-女”的概率是50%。

然而,另外一個聰明人“不贊成”這個答案。

他就是加里·史密斯,耶魯大學(xué)博士,曾在耶魯大學(xué)任教7年,其間兩度獲得教學(xué)獎。

他在《簡單統(tǒng)計(jì)學(xué)》一書中,指名道姓地批評了蒙洛迪諾的“謬誤”。

加里·史密斯用另外一種方式陳述了題目:

題目B:另一個孩子

一個名叫史密斯的男人正在和他的女兒散步。

史密斯說,他們家還有一個孩子。

請問:這個不在身邊的孩子是女孩兒的概率是多少?

看起來這道題的表述似乎和蒙洛迪諾的題“類似”,然而加里·史密斯有完全不同的解答。

首先他毫不留情地批評“專家”們“三分之一”的答案錯了。

加里·史密斯給出了一個表格:

B是指男孩,BB就是指老大男孩老二也是男孩。

G是指女孩,BG就是指老大男孩老二是女孩。

上圖顯示了在 BB、BG、GB 和 GG 之間均勻分配的 400 個家庭。

讓我們不厭其煩地跟著作者分析一遍。

已知:

在史密斯有兩個男孩兒的 100 種情況中(BB),他總是和一個男孩兒散步。

在史密斯有兩個女孩兒的 100 種情況中(GG),他總是和一個女孩兒散步。

在他擁有一兒一女的情況中(BG 或 GB),一個合理的假設(shè)是,他與男孩兒或女孩兒散步的概率相等。

分析:

觀察第一行,即史密斯和女孩兒散步的 200 種情況。在 100 種情況中(GG),不在場的孩子是女孩兒,在另外 100 種情況中(BG 或 GB),不在場的孩子是男孩兒。

在第二行里(史密斯和男孩兒散步的 200 種情況),在 100 種情況中(BB),不在場的孩子是男孩兒,在另外 100 種情況中(BG 或 GB),不在場的孩子是女孩兒。

結(jié)論:

不管和史密斯散步的孩子是女孩兒還是男孩兒,他的另一個孩子是男孩兒或者女孩兒的概率都是相等的。

(以上圖表和分析來自《簡單統(tǒng)計(jì)學(xué)》,后面我會給個更簡單更形象的計(jì)算。)

所以,答案應(yīng)該是1/2,而不是1/3。

當(dāng)然,這個問題也能夠用常識直接回答掉:

看到一個是女兒,和另外一個是男還是女沒關(guān)系。

所以另外一個是女孩的概率是1/2.為什么要計(jì)算那么復(fù)雜呢?

原因在下面。

假如你沒有感到一點(diǎn)點(diǎn)暈,那么你可能并不是真的懂。

那么霍金的合著者,與耶魯大學(xué)的博士,到底誰對誰錯呢?

真相是:

1、兩個人的答案都是對的。

2、但“耶魯博士”對“霍金合著者”的批評是錯的。

那問題出在哪兒呢?

原因是:

這兩位牛人討論的題目,壓根兒不是同一個。

我們再來看一下。

(霍金的合著者)題目A:

兩個孩子,已知至少有一個是女孩,另外一個是女孩的概率是多大?

(耶魯大學(xué)博士)題目B:

兩個孩子,親眼看見一個是女孩,另外一個是女孩的概率是多大?

難道這說的不是一回事兒嗎?

親眼看見一個是女孩”,不就證明了“至少有一個是女孩”嗎?

你覺得呢?

搞暈聰明人的時刻到了。

你看,即使是耶魯?shù)牟┦?,也混淆了二者之間的區(qū)別。

(《簡單統(tǒng)計(jì)學(xué)》是很好的書,而且也有較小概率是我說錯了。)

最簡單的方法是采用貝葉斯公式來計(jì)算,但是我繼續(xù)采用零公式的方式,來做一些可感知的推理。

至少有一個是女孩”,與“親眼看見一個是女孩”,并非一回事情。

這個是關(guān)鍵。

這二者直接的差別,可以從空間、時間兩個維度的“整體與局部關(guān)系”來揭示。

1、先看空間維度的“整體與局部關(guān)系”。

至少有一個是女孩”,不能確保你親眼看見的那個就是女孩。

盡管你可以由“親眼看見一個是女孩”推理出“至少有一個是女孩”,但是,你不能由“至少有一個是女孩”推理出“親眼看見一個是女孩”。

我用畫圖來形象描述一下:

如上圖所示,“親眼看見一個是女孩”被包含于“至少有一個是女孩”。也可以說,“親眼看見一個是女孩”是比“至少有一個是女孩”信息更多的概率描述。

2、再看時間維度的“整體與局部關(guān)系”。

至少有一個是女孩”,是上帝視角的統(tǒng)計(jì)結(jié)果;

親眼看見一個是女孩”,是人肉視角的觀察結(jié)果。

我用時間維度來說,未必精確,但大致是一個形象化的描述。

如上圖所描述--

(藍(lán)色字體)統(tǒng)計(jì):上帝視角的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,是對符合“至少有一個是女孩”的所有樣本空間的整體描述;

根據(jù)上帝視角的統(tǒng)計(jì),有三種樣本空間,所以兩個都是女孩的概率是1/3;

(紅色字體)觀察:人肉視角的觀察結(jié)果,是對其中一個平行宇宙的實(shí)際結(jié)果“親眼看見一個女孩”的真實(shí)描述。

根據(jù)人肉視角的觀察,觀察到是女孩的4類可能性,有一半來自兩個都是女孩的樣本空間,所以兩個都是女孩的概率是1/2。

由此,我們終于引發(fā)了關(guān)鍵話題:

1、“親眼看見一個是女孩”,是人肉視角的觀察結(jié)果,也是一個做功的過程;

2、為什么一個(信息并不完備的)觀察,會改變現(xiàn)實(shí)的可能性?

(埋一個彩蛋:假如上面的題目中,那個男人出門的時候就決定了要帶一個女孩一起散步,那么,這個時候你正好看見了他和女孩,請問他有兩個女孩的概率是多大?)

下面,我用另外一道好玩兒的題目,來測試一下“觀察改變現(xiàn)實(shí)的可能性”。

題目:酒鬼去哪兒?

某酒鬼有90%的日子都會出去喝酒,喝酒只隨機(jī)(概率均等)去固定的三家酒吧,也就是說去每家酒吧的概率都是30%。

今天警察想去抓酒鬼,結(jié)果找了其中兩家酒吧,都沒有抓到。

請問:酒鬼在第三家酒吧的該率?

答案是:

假如警察真的是想抓酒鬼,那么酒鬼在第三家酒吧的概率是75%;

假如警察是酒鬼的兄弟,不那么想抓他,酒鬼在第三家酒吧的概率是90%。(這個結(jié)果有一些不嚴(yán)格的假設(shè)。)

酒鬼這道題,最讓人疑惑的地方是:

為什么警察“真的抓”和“假裝抓”會影響酒鬼在第三家酒吧的概率?

也就是說,酒鬼在第三個酒吧是一個物理事件,而且在警察來抓之前就已經(jīng)客觀存在了,為什么會因?yàn)榫煨牡椎闹饔^意識而發(fā)生改變呢?

難道有心靈感應(yīng)這回事兒嗎?

請?jiān)试S我用小白話來把題目分析一遍:

酒鬼去每個酒吧的概率都是30%,這是一個統(tǒng)計(jì)結(jié)果,也就是說過去100天,酒鬼有30天去酒吧A, 30天去酒吧B,30天去酒吧C,10天回家被老婆罵。

那么具體到今天,他要么在三個酒吧中的某一個,要么在家里。不管他在哪兒,他都是百分之百在那里的。

既然如此,概率有什么用呢?是拿來分析可能性的。例如知道概率的大小,警察就知道去任何一家酒吧抓住酒鬼的可能性,都是在家里抓住他的可能性的3倍。一次未必準(zhǔn),但抓上很多次,就越來越接近這個比例。

圖示如下:

讓我們繼續(xù)用零公式的方式,來計(jì)算一下這道題。

上圖,是上帝視野的統(tǒng)計(jì)概率,而現(xiàn)在的情況是,警察去了酒吧A和酒吧B,發(fā)現(xiàn)酒鬼都不在。

這其實(shí)是一個觀察過程。如下圖:

經(jīng)由觀察,酒鬼在酒吧A和酒吧B的可能性消失了,相當(dāng)于對應(yīng)的平行宇宙“坍縮”了。

接下來,去酒吧C的30%和回家哭的10%,對應(yīng)了全部可能性。

于是,如上圖右側(cè)的計(jì)算,在酒吧C的概率是75%。

這就是警察真的想抓酒鬼(且不知道酒鬼在哪兒)的情況下,酒鬼在酒吧C的概率。

那么假如警察知道酒鬼的情況呢?

在重新寫本文時,我發(fā)現(xiàn)自己過去的文章對這種狀況表達(dá)有誤。

我試著更精確地表述:

有兩個警察一起去抓酒鬼。其中一個很正直,而另外一個壞警察與酒鬼有勾結(jié)。

酒鬼還是90%的概率去喝酒,10%的概率回家。

但是,為了不被抓,酒鬼和壞警察商量好,以后只去C酒吧喝酒。

當(dāng)好警察打算抓酒鬼時,壞警察故意帶好警察去A酒吧和B酒吧,以干擾抓酒鬼。

請問在C酒吧抓到酒鬼的概率是多少?

我發(fā)現(xiàn),一旦想要精確地表述問題,問題就毫無趣味了:

當(dāng)然是90%了。

那么,我想繼續(xù)追問:對于好警察來說,所做的事情還是一樣,為什么在酒吧C抓到酒鬼的概率就從75%變成90%了?

(對比而言,“三門問題”更容易表達(dá)信息的做功,我將其放在后面了。)

對于好警察來說,他的舊情報(bào)還是酒鬼以各30%的概率分別去三個酒吧喝酒。

但是壞警察知道,酒鬼90%的概率是去C酒吧喝酒。

壞警察故意先帶好警察去A酒吧和B酒吧,其實(shí)是利用自己基于更多信息的“概率權(quán)”。

在這種操縱下,好警察去A酒吧和B酒吧的觀察行為,并不會導(dǎo)致對應(yīng)的平行宇宙的“坍縮”。

抓酒鬼這個案例告訴我們:

“判斷是可以測度的,相關(guān)性的判斷就是概率?!?/strong>

但是,問題往往出現(xiàn)在“相關(guān)性的判斷”上。

同樣,酒鬼被抓的可能性,似乎被知情且想包庇他的壞警察控制了。

這也是概率權(quán)

相當(dāng)多的概率爭議,來自對表述的理解。

有些人認(rèn)為是文字游戲。

然而,假如一個游戲?qū)е麻L期的爭議,那么一定不止是個文字游戲。

還是《簡單統(tǒng)計(jì)學(xué)》一書,講述了下面這個經(jīng)典題目:

2010年,在兩年一度紀(jì)念馬丁·加德納的“加德納集會”上,加里·福希提出了這個問題的另一個版本。他走上講臺,說道:“我有兩個孩子。一個是男孩兒,出生在星期二。我有兩個男孩兒的概率是多少?”

停了一會兒,福希繼續(xù)說道:“你能想到的第一件事情是,‘這和星期二有什么關(guān)系?’實(shí)際上,二者之間存在密切的關(guān)系?!?/p>

然后,福希走下了講臺。他的發(fā)言在會場和互聯(lián)網(wǎng)上引發(fā)了一場熱烈的討論。

假如你去搜索一下,很容易找到這個“星期二男孩”的計(jì)算過程,以及答案:

13/27。

這是個很奇怪的數(shù)字,哪里來的13,又從哪兒來的27?

《簡單統(tǒng)計(jì)學(xué)》的作者,耶魯大學(xué)博士,對此毫不客氣地說:

這和星期二的確沒有任何關(guān)系。

他的推理如下:

如果星期二能夠改變這個概率,那么星期三、星期四或者一周里的其他任何一天也能以同樣的方式改變這個概率。

不過,這個孩子一定會出生在一周里的某一天。

因此,如果福希的說法是正確的,我們可以在不知道這一天是星期幾的情況下改變這個概率。

他由此得出結(jié)論:福希是錯誤的。這一天是星期幾并不重要。

到底誰是對的?

我們先看一下,13/27是怎么得來的。

對應(yīng)該計(jì)算,我將該問題表述得更加精確一些:

“某人有兩個孩子。一個是男孩兒,出生在星期二。他來自有兩個男孩兒的家庭的概率是多少?”

我繼續(xù)用“平行宇宙法”,也就是可視化的窮盡法,來計(jì)算一下結(jié)果。

如下圖:

我列舉了符合“有一個星期二出生的男孩”的所有可能性。

請注意,這里仍然是上帝視角的統(tǒng)計(jì)分布,認(rèn)為這是用貝葉斯公式來計(jì)算的理解是錯誤的。

上圖右側(cè)的三個7??7表格,橫坐標(biāo)是老大從周一到周日的可能性,縱坐標(biāo)是老二從周一到周日的可能性,對應(yīng)的一共是49種可能性。

但是因?yàn)榉稀靶瞧诙泻ⅰ钡?,只有表格中?biāo)為紅色的可能性:

在“男男”組合里,符合條件的有13種;

在“男女”組合里,符合條件的有7種;

在“女男”組合里,符合條件的有7種。

以上合計(jì)27種符合“有一個星期二出生的男孩”的可能性。

其中,有13種是“男男”組合,所以該組合的概率是13/27。

為什么看起來如此“簡單”的計(jì)算,會引發(fā)如此大的爭議?

上面的耶魯博士錯了嗎?

即使算出了13/27的人,對這個問題的理解也大多錯誤了,他們混淆了條件概率,也沒搞對貝葉斯公式的本義。

然而,我打算繼續(xù)發(fā)揮自己外行的優(yōu)勢,跳出使用“概念”的歧義,來深挖爭議的本質(zhì)。

我將改造一下上面的題目:

假如某人有兩個孩子,有一天我給他家打電話,是他其中一個孩子接的,是個男孩,我問他是周幾出生的,他說是星期二。

請問,他有兩個男孩的概率是多大?

請注意,這時,“有個星期二男孩接電話”,就變成了一次“觀察”。

如前所述,這次主觀參與的觀察,改變了概率。

其中,如果有兩個男孩,且都是星期二出生,那么接電話的可能是老大,也可能是老二。

發(fā)生過程如下:

如上圖,第四列“統(tǒng)計(jì)”,是計(jì)算出13/27的過程。

第五列“觀察”,從上帝視角,變成了觀察者視角。

其中最大的變化是:

在“男男組合“的49種空間組合里,也就是在第四列“統(tǒng)計(jì)”中,是13種。

在第五列“觀察”里,對應(yīng)“男男組合“的13種空間可能性中,有14個星期二男孩可能會被觀察到接電話。

圖示如下:

請注意上圖,變化(也就是歧義發(fā)生的地方),位于兩條紅帶的交叉點(diǎn):

兩個男孩都是星期二男孩。

作為上帝視角的統(tǒng)計(jì),即使有兩個星期二男孩,作為樣本空間,其可能數(shù)量還是1;

但是從觀察者的角度,針對交叉點(diǎn)的“兩個都是星期二男孩”的樣本空間,觀察到的可能是老大,也可能是老二,所以在該點(diǎn)符合條件的觀察結(jié)果是2。

從觀察者的結(jié)果計(jì)算逆概率,用的才是貝葉斯公式:

被觀察到的星期二男孩,家里有兩個男孩的概率是“14/28”,也就是1/2。

寫《簡單統(tǒng)計(jì)學(xué)》的耶魯博士,說的是上面這種狀況。

我在此指出頂尖專家的“錯誤”,顯然很傻很無知。然而到此為止,我似乎都是對的。

13/27,和14/28,兩個結(jié)果都沒錯:

前者說的是上帝視角的樣本空間可能性;

后者說的是觀察者由果至因的概率計(jì)算。

觀察結(jié)果,相當(dāng)于獲得了更多的信息,因此改變了概率。

前面“兩孩問題”生出了1/3與1/2兩種不同結(jié)果,道理和這個是一樣的。

觀察,看似只是主觀的、外部的參與,但是從信息的角度,從概率的角度,相當(dāng)于“做功”,會導(dǎo)致概率變化。

這里特別要提到的是,“接電話的是個男孩”,與“接電話的是個星期二男孩”,這兩個貌似不同的觀察結(jié)果,所得出的“兩個孩子都是男孩”的概率都是1/2。

為什么呢?

因?yàn)閷τ谟^察者而言,“星期二”并沒有給出更多信息。說男孩出生于星期二,相當(dāng)于一句廢話。

這大概也是香農(nóng)對信息的定義:

信息是用來消除“不確定性”的東西。

讓我們再回到文章的開頭,看看那兩道簡單點(diǎn)兒的題。

(霍金的合著者)題目A:

兩個孩子,已知至少有一個是女孩,另外一個是女孩的概率是多大?

這道題目,其實(shí)是關(guān)于“樣本空間”的概率問題。

所以基于下圖之“統(tǒng)計(jì)”那一列,可以得出結(jié)果是1/3。

(耶魯大學(xué)博士)題目B:

兩個孩子,親眼看見一個是女孩,另外一個是女孩的概率是多大?

這道題目,其實(shí)是關(guān)于從“結(jié)果”推理“原因”的計(jì)算,對應(yīng)的是下圖“觀察”那一列。

從“結(jié)果”推理“原因”,是一個貝葉斯計(jì)算。

我們不用公式,就可以清晰地推理計(jì)算。

看見一個女孩,只會發(fā)生在“男女、女男、女女”三個樣本空間里。

所以,當(dāng)“親眼看見一個女孩”,問另外一個是女孩的概率是多大,其實(shí)是在問:

兩個孩子,親眼看見一個是女孩(果),那么她來自“女-女”家庭(因)的概率是多大?

我把“男女、女男、女女”三個樣本空間重新擺成下面這個樣子,因?yàn)槊娣e代表可能性的數(shù)值(平行宇宙的胖瘦),這樣就可以“可視化+可計(jì)算”了。

(上圖三個長方形的面積是一樣的。)

因?yàn)椤?strong>親眼看見一個是女孩”,這個觀察結(jié)果,發(fā)生在上圖黃色區(qū)域里。

根據(jù)面積比例可以發(fā)現(xiàn),“女-女”占了觀察結(jié)果是一個女孩的可能性的50%。

我們很容易得出結(jié)論:

根據(jù)“看見一個女孩”這個觀察結(jié)果,她來自“女-女”家庭的可能性是50%。

所以,當(dāng)你親眼看見一個女孩,另外一個也是女孩的概率是50%

這里有點(diǎn)兒“詭異”的地方是,“親眼看見一個女孩”這個“”,更新了我們對于這個女孩來自于什么家庭()的“信念”。

意識能夠搬動物體嗎?

假如一個人說他能用意識讓勺子變彎,那么他要么是魔術(shù)師,要么是騙子。

意識控制機(jī)器是另外范疇的事情,讓愛因斯坦疑惑的“魔鬼般的超距作用”也不是我的討論目標(biāo)。

我想說的是:

意識可以改變現(xiàn)實(shí)世界的概率嗎?

我不得不再次提及“三門問題”,但是會寫到一些你在別處可能沒見過的思考。

已知:在下面三道門中,你選擇了A。

具體規(guī)則和過程請看下面。

說這道題太簡單的人都是不誠懇的。當(dāng)年在美國,這道題搞暈了一大堆大學(xué)教授、數(shù)學(xué)家、博士在內(nèi)的專業(yè)人士和聰明人。

疑惑在于:

1)打開一扇門之后,剩下兩扇門,難道每扇門之后有汽車的概率不是一樣的50%嗎?

2)如果主持人打開一扇門,那扇門原有的1/3可能性,為什么全部分配到C門了?A和C有什么區(qū)別呢?

3)到底是什么神秘的力量,導(dǎo)致了概率的重新分配?

即使你知道并理解了這個問題的答案,還是可能忽略了本題的一個關(guān)鍵點(diǎn):

主持人到底是否知道B門的后面沒有汽車。

《不確定世界的理性選擇》對此有精確描述:

主持人的規(guī)則至少有三種可能的解釋。

第一種規(guī)則:主持人總是隨機(jī)打開沒有被參與者選擇的門(例如,在上面的情境中,主持人擲一枚硬幣來決定打開 2號或 3號門)。這表示主持人可能打開一扇門并展示出門后的轎車,然后(和觀眾一起)笑話你選錯了門,游戲結(jié)束。

第二種規(guī)則:假設(shè)主持人總是挑選后面藏著山羊的門打開,決不打開參與者挑選的門;當(dāng)參與者已然選中了藏有轎車的門,主持人就隨機(jī)打開一扇門。這樣,參與者的選擇和主持人開門之間的關(guān)系就更復(fù)雜了。

第三種規(guī)則:假設(shè)主持人總是挑選藏有山羊的門打開,決不打開參與者挑選的門;在參與者已然選中了藏有轎車的門之后,主持人有偏向地挑選剩下兩扇門中序號較小的一扇打開(針對這種規(guī)則可能存在其他偏差)。

盡管這三種規(guī)則均符合上述問題的表述,但其潛在概率卻各不相同。

在上面的題目里,我們留意到,主持人前面有個定語:

假如他知曉汽車的下落。

那么問題來了,假如主持人不知道汽車在哪個門的后面,這時他打開B門,發(fā)現(xiàn)后面沒有汽車,那你換不換?

答案是:不換?;蛘哒f換不換無所謂。因?yàn)檫@時A和C后面有汽車的概率,都是1/2。

但是更聰明的思考應(yīng)該是:

假如你不知道主持人到底是否知道汽車在哪個門后面,從博弈論的角度來說,你都應(yīng)該選擇換。

只不過,有時候換有好處,有時候換沒好處但也沒壞處。

聰明如你可能看出來了,這有點(diǎn)兒像前面的抓酒鬼,但是主持人這個角色的引入,讓“概率權(quán)”的概率更加生動了。

我繼續(xù)用零公式的方式,來解釋這一道題。更重要的是,用此題來呈現(xiàn):

意識改變現(xiàn)實(shí)世界(的概率)。

三門問題,我以自己的方式將其描繪如下:

主持人打開B門,門后面沒有汽車,理論上這是一個觀察動作,帶來了更多信息,理論上會改變概率,是嗎?

并不全是。

這取決于主持人是否知道車在哪個門后面。

我們把概率樹的分枝,理解為某件事情的各種可能性,用文藝的方法描述,就是一切可能存在的n個平行宇宙。

先看主持人不知道的情況。

假如主持人不知道B門后面有沒有汽車,那么他隨機(jī)打開B門并發(fā)現(xiàn)是羊,只是關(guān)掉了“B門后面是汽車”的平行世界;

原來屬于B的平行宇宙的“地盤”,將被平均分配給A和C,這一公平是由主持人的“未知”和這個世界的“隨機(jī)”所賦予的。

如下圖:

再看主持人知道的情況。

當(dāng)他打開B門,其實(shí)是一個選擇的結(jié)果。因?yàn)槿绻鸅門后有車,他就會選擇打開C門。

所以,他打開B門,并沒有產(chǎn)生觀察者效應(yīng),也就是說沒有讓A門的概率由1/3變成1/2。

他主動選擇了關(guān)掉B門后面1/3有車可能性的平行世界,并將其概率賦予給了C門,使其概率由1/3增加到了2/3。

如下圖:

在這個案例里,我所創(chuàng)造的“概率權(quán)”一詞,不再是一種隱喻,而是精確且生動地參與到計(jì)算中了。

不知道你是否還記得本文開始的那個問題:

你相信意識可以移動物體嗎?

重新分配了概率權(quán)的主持人,是不是相當(dāng)于“移動”了門后的汽車呢?

以上不厭其煩的“簡單”計(jì)算,是為了從可感知的層面理解如下兩點(diǎn):

帶來有價(jià)值信息的觀察,改變概率的分布;

基于概率權(quán)分配概率。

這是兩個很好玩兒的思考。

這是我作為業(yè)余人士的優(yōu)勢所在,我可以自由地去思考這些問題,尤其是這些把專業(yè)人士也繞暈了的問題。

我試圖將概率與直覺建立起某些聯(lián)系,這需要借助于物理來思考。

如果說主持人打開B門,引入了額外的信息,那么,該額外信息到底是如何“做功”的?

做功是能量由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種的形式的過程。

做功的兩個必要因素:作用在物體上的力和物體在力的方向上通過的距離。

經(jīng)典力學(xué)的定義是:當(dāng)一個力作用在物體上,并使物體在力的方向上通過了一段距離,力學(xué)中就說這個力對物體做了功。

主持人知道信息,和不知道信息,其“做功”的差別是什么?

概率到底是客觀存在的事物?還是主觀想象的事物?

即:概率究竟存在于現(xiàn)實(shí),還是存在于人的大腦?

人的主觀意識,會改變這個客觀世界嗎?

上述問題吸引我的是,觀察者的參與(本來是作為“果”),對于現(xiàn)實(shí)概率(本來是作為“因”)的影響。

既然叫“因果”,為什么“果”會改變“因”?

量子力學(xué)層面的觀察者效應(yīng),與經(jīng)典物理世界的“可能性”的觀察者效應(yīng),都是圍繞“概率”展開。

本文中寫到的幾個有爭議的題目,歧義產(chǎn)生于“上帝視角”和“觀察者視角”。

“上帝視角”研究的是樣本空間;

“觀察者視角”則是貝葉斯更新。

引入先驗(yàn)概率、后驗(yàn)概率、條件概率也許可以讓計(jì)算更簡單,但對于消除歧義并無幫助。

因?yàn)橐陨蠣幾h,往往在專業(yè)人士之間會更加激烈。

然而,作為一個好奇的業(yè)余愛好者,我并不打算停留于此。

雅各布·布魯諾夫斯基在《知識與想象之起源》中說:當(dāng)我們對世界的感知方式在本質(zhì)上發(fā)生了如此大的變化時,繼續(xù)討論“世界是什么”,真的毫無意義。

作者認(rèn)為:我們對世界的看法不是“世界是什么”,而是“人類如何看待世界”。

長久以來,人類都堅(jiān)信,世界是客觀存在的,它就在那兒,就是那個樣子,我們的感知模式對我們解釋這個“現(xiàn)實(shí)世界”的方式影響不大;我們可以了解世界的本質(zhì)而不必?fù)?dān)心我們使用的“工具”。

然而,雅各布·布魯諾夫斯基認(rèn)為,上面的想法是錯的。

在這本出版于上個世紀(jì)70年代的書里,作者將人類稱為“生物引擎”,而引擎的感知模式對于我們對世界的闡釋至關(guān)重要。

當(dāng)然,也應(yīng)該包括我在本文反復(fù)提及的“觀察”。

我們看這個世界,聽這個世界,理解這個世界,都是經(jīng)由“引擎”的感知。

上述思考,起源于康德在18世紀(jì)60年代提出的基本思想:

我們對外部世界的認(rèn)識取決于我們的感知模式。

不久之后,康德放棄了自己的想法,轉(zhuǎn)而相信牛頓的絕對空間,他提出“空間確實(shí)存在,事件必須與之相適應(yīng),我們必須先天地意識到它”。

有趣的是,愛因斯坦在13歲就開始喜歡上康德的著作,并由此開始研讀休謨和馬赫的著作。

年輕時,愛因斯坦閱讀了很多探索科學(xué)與哲學(xué)的交界的著作。這其中,對他影響最大的是休謨。

休謨對一切不能直接由感官感知的知識都表示懷疑(一個聰明而可愛的杠精)。

在愛因斯坦看來,休謨清楚地認(rèn)識到,像因果性這樣一些概念并不能通過邏輯方法從我們的經(jīng)驗(yàn)知覺中導(dǎo)出。

(這就是為什么我對于本文幾道題目的計(jì)算,避免用成熟的公式,而是用可感知的方式去推理。)

然而,不久后,愛因斯坦開始質(zhì)疑康德關(guān)于分析性真理和綜合性真理之間的嚴(yán)格區(qū)分。

例如,一個看起來是純粹分析的命題“三角形內(nèi)角和等于180度”在非歐幾何或在彎曲空間中(比如廣義相對論所處理的情況)竟然是錯誤的?!斑@些概念并不包含康德賦予它們的確定性和內(nèi)在必然性?!?/p>

(上述內(nèi)容來自《愛因斯坦傳》。)

馬赫啟發(fā)愛因斯坦的,不僅有“堅(jiān)不可摧的懷疑態(tài)度和獨(dú)立性”,更有他對牛頓的“絕對時間”的懷疑。他曾經(jīng)說過:

“世界的真正要素不是物,而是顏色、壓力、空間、時間這些我們稱之為感覺的東西。

因此,所謂的“科學(xué)知識”絕不是客觀實(shí)在及其規(guī)律的反映,而只是對這些感覺要素的簡單化、物化的處理方式而已?!?/p>

而在愛因斯坦看來,馬赫哲學(xué)的本質(zhì)是:

“只有當(dāng)概念所指涉的對象以及概念同這些對象據(jù)以對應(yīng)起來的規(guī)則能夠被顯示出來時,概念才是有意義的。”

換句話說,要想讓一個概念有意義,就需要對它進(jìn)行一種操作定義。

幾年以后,這種看法將為愛因斯坦帶來豐碩的回報(bào),他和貝索談?wù)摿耸裁礃拥挠^察能夠給兩個事件“同時”發(fā)生這一看似簡單的概念賦予意義。

《愛因斯坦傳》

愛因斯坦拋棄了那些“與經(jīng)驗(yàn)沒有關(guān)聯(lián)”的概念,比如“絕對同時性”和“絕對速度”。

相對論告訴我們:

對時間(包括延續(xù)和同時性)的測量是相對的,它取決于觀察者的運(yùn)動,因此對空間(比如距離和長度)的測量也是相對的。

然而兩者之間的一種聯(lián)合,即所謂的“空-時”,卻在任何慣性系中都保持不變。

最后

我們對這個世界的感官印象,是由神經(jīng)系統(tǒng)進(jìn)行解釋和構(gòu)建的。

理論上,人類的基本結(jié)構(gòu)相同,我們對外部世界的觀察和理解應(yīng)該大致相同。

但事實(shí)并非如此。

例如當(dāng)年在赤壁,面對一樣的風(fēng)景,蘇東坡與友人看見了完全不一樣的世界。

那是公元1082年,蘇東坡與友人泛舟于赤壁下游玩。

清風(fēng)徐來,水波不興;白露橫江,水光接天。一時間,他飄飄乎如遺世獨(dú)立,羽化而登仙。

這時,客人中有吹洞簫者,倚歌而和之,其聲嗚嗚然,如怨如慕,如泣如訴。

蘇東坡問他為什么如此哀愁。

客人說:“‘月明星稀,烏鵲南飛’是曹孟德的詩吧?眼前壯麗景色,都是他戰(zhàn)斗過的地方。曹操如此牛逼,固一世之雄也,而今又在何處呢?”

隨后,蘇東坡寫出了傳頌千古的詩句。

這些話語充滿了現(xiàn)代型。對于觀察這個世界的智慧,對于經(jīng)驗(yàn)知覺,蘇東坡、休謨、康德、馬赫、愛因斯坦們把酒言歡。

蘇東坡說道:

“你可也知道這水與月?時間流逝就像這水,其實(shí)并沒有真正逝去;時圓時缺的就像這月,終究沒有增減??梢姡瑥氖挛镆鬃兊囊幻婵磥?,那么天地間萬事萬物時刻在變動,連一眨眼的工夫都不停止;而從事物不變的一面看來,萬物同我們來說都是永恒的,又有什么可羨慕的呢?

何況天地之間,萬物各有主宰者,若不是自己應(yīng)該擁有的,即使一分一毫也不能求取。只有江上的清風(fēng),以及山間的明月,聽到便成了聲音,進(jìn)入眼簾便繪出形色,取得這些不會有人禁止,感受這些也不會有竭盡的憂慮。這是大自然恩賜的沒有窮盡的寶藏,我和你可以共同享受?!?/p>

這首《赤壁賦》寫于蘇軾一生最為困難的時期之一,全篇豪放清朗,行歌笑傲。

“惟江上之清風(fēng),與山間之明月,耳得之而為聲,目遇之而成色,取之無禁,用之不竭?!?/p>

蘇東坡此賦,不正是量子時代物理學(xué)家們的世界觀嗎?

哥本哈根解釋要求在觀察者存在的情況下,波函數(shù)魔術(shù)般地發(fā)生坍塌,現(xiàn)實(shí)世界因此呈現(xiàn)。

問題在于,誰來觀察宇宙呢?

宇宙是自我包含的。它包含所有事物,所以并不存在外部觀察者來注意宇宙的存在。

格里賓傾向于“唯我論”者的論斷。這個論斷說,在宇宙中只有一個觀察者,那就是我自己?!拔业挠^察”就是使現(xiàn)實(shí)從量子可能性的網(wǎng)絡(luò)中固化出來的所有重要因素。

也許,充滿好奇心地觀察這個世界,不僅是我們參與“現(xiàn)實(shí)”世界的惟一方式,也是我們“擁有”整個世界的惟一可能。

關(guān)鍵詞: 的可能性 另外一個 愛因斯坦

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